⚗️ 5 областей применения линейной алгебры в программировании

Линейная алгебра – это раздел математики, посвященный изучению систем линейных уравнений, линейных отображений и векторных пространств. Главные инструменты линейной алгебры – матрицы, детерминанты и двойственные пространства.

Матрицы и детерминанты (определители) используются в линейной алгебре для решения систем линейных уравнений и выполнения операций с векторами. Они также играют важную роль в теории линейных отображений, в изучении свойств векторных пространств и подпространств.

Двойственные пространства – еще одно важное понятие в линейной алгебре. Они представляют собой множество линейных функционалов, которые могут быть использованы для описания свойств векторных пространств.

Линейная алгебра располагает широким спектром методов, которые помогают:

• обрабатывать и анализировать большие объемы данных;
• разрабатывать эффективные алгоритмы шифрования;
• создавать реалистичную графику;
• распознавать образы;
• моделировать любые объекты, события, системы;
• прогнозировать события на основе данных из прошлого;
• оптимизировать различные системы и механизмы.

Благодаря этому линейная алгебра стала важным математическим инструментом в самых разных сферах – от экономики, физики, биологии и инженерии до разработки игр и машинного обучения. Рассмотрим подробнее некоторые способы применения линейной алгебры в разработке прикладного ПО.

1. Линейная алгебра в анализе данных и машинном обучение

Инструментарий линейной алгебры позволяет производить различные операции с данными, включая нахождение зависимостей между переменными, снижение размерности данных, кластерный анализ и обработку изображений. В машинном обучении матричные операции используются в алгоритмах классификации, регрессии и кластеризации.

Линейная регрессия

Линейная регрессия – этот метод применяют для анализа связи между двумя переменными. Линейная регрессия использует матричные операции для нахождения линейной зависимости между переменными и предсказания значений одной переменной на основании другой.

Логистическая регрессия

Логистическая регрессия – при построении модели применяют метод наименьших квадратов, а при использовании метода максимального правдоподобия используют матричное умножение и обратную матрицу для нахождения оптимальных значений параметров. Кроме того, линейную алгебру используют для вычисления градиента функции потерь и для обновления параметров модели в процессе обучения.

Метод главных компонент

Метод главных компонент – используют для снижения размерности данных. С помощью матричных операций находят линейные комбинации переменных, которые максимально сохраняют информацию в данных. Это позволяет уменьшить размерность данных и упростить их анализ.

Кластерный анализ

Кластерный анализ –метод, который позволяет группировать данные по сходству. Здесь линейная алгебра используется для вычисления расстояний между объектами и для нахождения кластеров, которые максимально отличаются друг от друга.

Нейронные сети

Нейронные сети – при создании и оптимизации моделей линейную алгебру используют для вычисления весов и смещений нейронов, а в процессе обучения применяют для нахождения ошибок.

Сверточные нейронные сети

Сверточные нейронные сети – здесь линейную алгебру применяют для обработки изображений и нахождения признаков, которые используются для классификации и распознавания объектов.

Метод опорных векторов

Метод опорных векторов – применяется для нахождения границы, которая разделяет два класса. Метод используют для распознавания образов, определения категории объекта и других задач классификации.

Линейный дискриминантный анализ

Линейный дискриминантный анализ – используется для нахождения наилучших линейных комбинаций переменных, способных разделить две или более категории (группы). Применяется в машинном обучении для классификации данных.

2. Линейная алгебра в разработке игр

Линейная алгебра – один из важнейших инструментов в геймдеве: ее применение простирается от 3D-графики и физического моделирования до анимации и искусственного интеллекта.

3D-графика

3D-графика – линейная алгебра используется для описания и трансформации объектов в 3D-пространстве. Она помогает определять расположение и ориентацию объектов в пространстве, настраивать камеры и источники света, а также выполнять преобразования объектов – масштабирование, поворот и перемещение.

Физическое моделирование

Физическое моделирование – здесь линейная алгебра помогает реалистично имитировать поведение объектов. Например, линейная алгебра используется для:

• определения траектории движения объектов с учетом их массы, воздействующих на них сил и ускорения;
• расчета столкновений;
• реалистичной имитации воды, снега, ветра, тумана и т. п.

Анимация

Анимация – линейная алгебра помогает определить позицию и ориентацию объектов в различных кадрах анимации, а также обеспечивает расчет естественных кривых движения объектов. Это позволяет реалистично анимировать персонажей, определять направления движения камеры и создавать визуальные эффекты.

3. Линейная алгебра и искусственный интеллект

Искусственный интеллект – линейная алгебра задействована в обработке и анализе данных, которые используются в алгоритмах ИИ. Такие алгоритмы могут определять поведение противников, создавать новые маршруты и препятствия, планировать оптимальную стратегию кампаний.

4. Линейная алгебра в квантовых вычислениях

Линейная алгебра – стандартный язык квантовых вычислений. Это связано с тем, что квантовая механика описывает состояния квантовых систем как векторы в линейном гильбертовом пространстве.

Квантовые алгоритмы используют линейную алгебру для работы с квантовыми состояниями, обработки данных и для решения вычислительных задач. В частности, операции над квантовыми состояниями, которые описывают взаимодействие квантовых систем, выражаются в виде линейных операторов (унитарных матриц) на гильбертовых пространствах.

Квантовые вычисления основаны на использовании квантовых вентилей, которые являются линейными операторами и применяются к кубитам (аналог битов в классических вычислениях). Они обычно представляются матрицами, которые описывают различные квантовые вентили – преобразование Адамара, фазовый сдвиг, вентиль Паули Y и т. д. Эти вентили находят применение в алгоритмах квантового преобразования Фурье, квантового поиска Гровера, квантового распределения ключей и других.

Кроме того, линейная алгебра используется для работы с квантовыми каналами, которые описывают передачу квантовых состояний через канал с шумом, а также для решения задач квантовой оптимизации, где задача оптимизации представляется в виде минимизации или максимизации квантовой линейной функции, которая выражается в виде линейной комбинации квантовых вентилей и операторов.

5. Линейная алгебра в пакетах для 3D-моделирования

Линейная алгебра широко используется при создании ПО для 3D моделирования (ZBrush, 3ds Max, Blender, Maya и другие).

Математическая обработка – с помощью линейной алгебры можно создавать математические модели любых объектов. Это позволяет выполнять все необходимые расчеты – вычисление объема и площади моделей, ее поверхности, распределения масс и т. д.

Трансформация объектов – линейная алгебра используется для преобразования трехмерных объектов, перемещения, масштабирования и поворота моделей. Это делается с помощью матриц, которые содержат информацию об изменении расположения, размера и ориентации модели.

Освещение и тени – методы линейной алгебры применяют для расчета световых эффектов и теней на 3D моделях. Это включает в себя расчет направления света, расстояния до объектов, определение позиций объектов в трехмерном пространстве.

Анимация объектов – в процессе анимации линейная алгебра помогает реализовать движение объекта и камеры, изменение формы или текстуры, направление света, переключение между сценами.

Нормализация поверхности – для настройки и нормализации поверхности 3D модели используется линейная алгебра. Это позволяет создавать более реалистичные текстуры и поверхности в моделях.

Расчет коллизий – линейная алгебра позволяет реализовать физически корректные столкновения и механику – движение и взаимодействие объектов.

6. Как использовать методы линейной алгебры, не вдаваясь в детали

Если уровень математической подготовки разработчика оставляет желать лучшего, на помощь придут специальные библиотеки. Для большинства общих инженерных, научных и экономических задач достаточно функциональности этих библиотек:

• NumPy – предоставляет инструменты для работы с многомерными массивами. Обеспечивает обширную поддержку методов линейной алгебры, включая операции над векторами и матрицами, вычисление собственных значений и собственных векторов. Кроме того, выполняет операции над тензорами.
• SciPy – надстройка над NumPy. Предоставляет множество специализированных функций, включая решение систем линейных уравнений, операции над векторами и матрицами, сингулярное разложение и метод наименьших квадратов.
• SymPy – обеспечивает поддержку широкого спектра операций, включая операции над матрицами и векторами, а также исследование свойств матриц (например, вычисление определителей, обратных матриц и т. д.).
• Pandas – предназначена для обработки и анализа данных. Ее также можно использовать для работы с матрицами и векторами, особенно если данные представлены в виде таблиц или датафреймов.

Для целей Data Science и машинного обучения используют более сложные библиотеки:

• TensorFlow – позволяет создавать и обучать модели машинного обучения. Библиотека обеспечивает поддержку многомерных массивов и обширный набор операций линейной алгебры, включая перемножение матриц, вычисление детерминанта, собственных значений и собственных векторов, а также разложений матриц (QR-разложение, сингулярное разложение и т. д.). TensorFlow имеет высокую производительность благодаря выполнению расчетов на GPU.
• PyTorch – предоставляет множество инструментов для создания и обучения нейронных сетей. Она также обладает широким спектром функций линейной алгебры, аналогичных TensorFlow, включая перемножение матриц, вычисление детерминанта, решение систем линейных уравнений и разложение матриц.
• CuPy – обеспечивает поддержку матричных операций, вычисление определителя, собственных значений и собственных векторов, а также разложения матриц.

У каждой из этих библиотек есть свои преимущества – важно понимать, какие операции линейной алгебры необходимы для конкретного проекта, и какая библиотека обеспечит нужный баланс функциональности и производительности.

7. Что почитать по линейной алгебре

«Математические алгоритмы для программистов: 3D-графика, машинное обучение и моделирование на Python», Пол Орланд

Эта книга – отличное введение в использование линейной алгебры (и математического анализа) в программировании. Автор очень подробно и доступно описывает математические концепции, необходимые для понимания линейной алгебры. Благодаря последовательному и продуманному порядку изложения материала книга пригодится любому разработчику, независимо от уровня математической подготовки. Самый большой плюс книги – практическая составляющая: в ней множество упражнений и примеров кода на Python, которые позволяют читателю быстро разобраться в различных алгоритмах.

«Линейная алгебра и ее применения», Гилберт Стренг

Стрэнг написал множество книг по практическому применению линейной алгебры и математического анализа, но, к сожалению, на русском был издан только один учебник. Книга отличается широким охватом тем – здесь рассматриваются все основные теоремы и методы решения задач линейной алгебры. Кроме того, в книге есть и дополнительные главы, посвященные спектральным теоремам, ортогональности, симметричным матрицам. Преимущество книги – доступный стиль изложения, который позволяет читателю с начальным уровнем подготовки вникнуть в сложные концепции.

«Высшая математика. Линейная алгебра. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия», Н. С. Коваленко, Т. С. Чепелева

Это объемное учебное пособие охватывает большой спектр тем, связанных с линейной алгеброй – операции над матрицами, теоремы о матрицах, разнообразные методы решения систем линейных уравнений. Главное достоинство книги – множество экономических и инженерных задач, основанных на примерах из реальной жизни.

Самостоятельное изучение основных концепций линейной алгебры может быть сложной задачей для разработчиков, не имеющих фундаментальной математической подготовки. И хотя с правильным подходом, хорошими учебниками и достаточным количеством времени и усилий линейную алгебру реально освоить самостоятельно, есть более практичный вариант – курс Библиотеки программиста «Математика для Data Science».