🔢 Математика для Data Science: необходимый минимум

Данные стали новой нефтью, а науку о данных Harvard Business Review назвал самой перспективной профессией 21 века. Для работы в сфере Data Science необходима математика: она позволяет извлекать смысл из огромных массивов информации и принимать обоснованные решения. Расскажем, какие разделы математики нужно знать для успешного старта.
🔢 Математика для Data Science: необходимый минимум

Почему в Data Science не обойтись без математики

Все ключевые аспекты Data Science неразрывно связаны с математикой, поскольку она предоставляет фундаментальную основу и все необходимые инструменты для понимания, анализа и интерпретации информации:

  • Анализ данных – для понимания и интерпретации информации используются математическая статистика, линейная алгебра и теория вероятностей.
  • Понимание взаимосвязей – для выявления, количественной оценки и моделирования различных типов взаимосвязей в данных (от простых линейных зависимостей до сложных нелинейных и многомерных отношений) применяются математическая статистика, линейная алгебра, теория вероятностей, теория графов, функциональный анализ, персистентная гомология.
  • Разработка алгоритмов – алгоритмы машинного обучения основаны на определенных математических концепциях. Понимание этих концепций позволяет специалистам по Data Science выбирать, адаптировать и оптимизировать алгоритмы для конкретных задач.
  • Оценка моделей – математические методы используются для оценки производительности моделей машинного обучения и определения их эффективности.
  • Обработка больших объемов данных – математические методы помогают эффективно обрабатывать и анализировать большие массивы данных.
  • Визуализация данных – математические концепции лежат в основе многих методов визуализации данных, помогая эффективно представлять сложную информацию.
  • Прогнозирование – математические модели используются для создания точных прогнозов на основе исторических данных.
  • Решение оптимизационных задач – многие задачи в Data Science связаны с оптимизацией, которая напрямую опирается на математические методы.
  • Понимание ограничений – знание математики помогает специалистам по Data Science лучше понимать ограничения и допущения используемых методов и моделей.
  • Инновации – глубокое понимание математики позволяет создавать новые алгоритмы и методы анализа данных, способствуя развитию области.

Какие разделы математики нужно знать для работы в Data Science

Важно заметить, что глубина необходимых знаний в той или иной области математики варьируется в зависимости от конкретной специализации в Data Science. Но в целом, абсолютно необходимый минимум сводится к перечисленным ниже ключевым разделам.

1. Базовые математические концепции и математический анализ

Теория чисел

  • Применяется в алгоритмах хеширования, которые важны для эффективного хранения и поиска данных.
  • Помогает в понимании и оптимизации вычислительных алгоритмов.

Порядок операций

  • Критически важен для правильного написания и интерпретации математических выражений в коде.
  • Обеспечивает корректность вычислений в сложных формулах и алгоритмах.
2×(3+2)254
        my_value = 2 * (3 + 2)**2 / 5 - 4
print(my_value) # Вывод: 6.0

    

Переменные

  • Основа программирования и моделирования в Data Science.
  • Используются для представления признаков, параметров моделей и промежуточных результатов вычислений.

Функции

  • Используются во всех аспектах науки о данных – от сбора, обработки, анализа и визуализации информации до оценки и оптимизации моделей.

Пример – визуализация функции в трехмерном пространстве:

        from sympy import symbols
from sympy.plotting import plot3d

x, y = symbols('x y')
f = 2*x + 3*y
plot3d(f)
    
 SymPy упрощает визуализацию сложных функций
SymPy упрощает визуализацию сложных функций

Суммирование

  • Используется в вычислении агрегированных метрик (например, суммы квадратов ошибок).
  • Применяется в алгоритмах машинного обучения.
i=152i=(2)1+(2)2+(2)3+(2)4+(2)5=30
        summation = sum(2 * i for i in range(1, 6))
print(summation) # Вывод: 30

    

Экспоненты

  • Применяются в масштабировании данных, особенно для признаков с большим разбросом значений.
  • Используются в некоторых активационных функциях нейронных сетей (например, ELU).
  • Важны в моделировании экспоненциального роста или спада.

Логарифмы

  • Часто применяются для нормализации данных с большим разбросом значений.
  • Используются в информационной теории (например, энтропия в деревьях решений).
  • Помогают в визуализации данных с большим диапазоном значений.

Пример – использование логарифма для определения степени:

        from math import log
# 2 в какой степени равно 8?
x = log(8, 2)
print(x) # Вывод: 3.0

    

Число Эйлера и натуральные логарифмы

  • Широко используются в статистическом моделировании.
  • Применяются в логистической регрессии и других вероятностных моделях.
  • Важны в оптимизации и максимизации функций правдоподобия.

Пример – вычисление непрерывного процента:

Функция exp(x) математически эквивалентна e^x, где e ≈ 2.71828
        from math import exp

p = 100  # Начальная сумма 
r = .20  # Годовая процентная ставка 
t = 2.0  # Время в годах

a = p * exp(r*t)

print(a)  # Вывод: 149.18246976412703
    

Пределы

  • Помогают понять поведение функций и алгоритмов при стремлении параметров к определенным значениям.
  • Используются в анализе сходимости алгоритмов машинного обучения.

Пример – вычисление предела, который определяет число e:

e = lim(n→∞) (1 + 1/n)^n
        from sympy import symbols, limit, oo

n = symbols('n')
f = (1 + (1/n))**n
result = limit(f, n, oo)
print(result)  # E
print(result.evalf())  # Вывод: 2.71828182845905
    

Производные

  • Ключевой компонент в оптимизации моделей машинного обучения, особенно в градиентном спуске.
  • Применяются для нахождения локальных минимумов и максимумов функций потерь.
  • Используются в анализе чувствительности моделей к изменениям входных параметров.

Частные производные

  • Применяются в многомерной оптимизации, например, в нейронных сетях.
  • Используются для вычисления градиентов в алгоритмах обучения.

Пример – вычисление и визуализация частных производных:

        from sympy import symbols, diff
from sympy.plotting import plot3d

x, y = symbols('x y')
f = 2*x**3 + 3*y**3

# Вычисляем частные производные по x и y
dx_f = diff(f, x)
dy_f = diff(f, y)

print(dx_f)  # Вывод: 6*x**2
print(dy_f)  # Вывод: 9*y**2

plot3d(f)
    
Визуализация частных производных с помощью SymPy
Визуализация частных производных с помощью SymPy

Цепное правило

  • Важно для понимания и реализации алгоритма обратного распространения ошибки в нейронных сетях.
  • Применяется при вычислении градиентов сложных композитных функций.

Интегралы

  • Используются в вероятностном моделировании и статистическом выводе.
  • Применяются в вычислении площадей под кривыми распределения вероятностей.
  • Важны в некоторых методах оценки плотности вероятности.
С помощью интеграла можно найти площадь области, выделенной красным
С помощью интеграла можно найти площадь области, выделенной красным
Вычисление площади с помощью интегралов
        def approximate_integral(a, b, n, f):
    delta_x = (b - a) / n
    total_sum = 0
    for i in range(1, n + 1):
        midpoint = 0.5 * (2 * a + delta_x * (2 * i - 1))
        total_sum += f(midpoint)
    return total_sum * delta_x
def my_function(x):
    return x**2 + 1
area = approximate_integral(a=0, b=1, n=5, f=my_function)
print(area) # Вывод: 1.33

    
🤖 Библиотека Дата Сайентиста
Больше полезных материалов вы найдете на нашем телеграм-канале «Библиотека Дата Сайентиста»
🤖🎓 Библиотека DS для собеса
Подтянуть свои знания по DS вы можете на нашем телеграм-канале «Библиотека DS для собеса»
🤖🧩 Библиотека задач по DS
Интересные задачи по DS для практики можно найти на нашем телеграм-канале «Библиотека задач по DS»

2. Теория вероятностей

Вероятность основа статистического вывода и многих алгоритмов машинного обучения. Понимание вероятности критично для интерпретации результатов моделей и оценки неопределенности:

  • Совместные вероятности используются в анализе многомерных данных и в построении байесовских сетей.
  • Условная вероятность – основа для байесовских методов машинного обучения, включая наивный байесовский классификатор.
  • Биномиальное распределение применяется в моделировании бинарных исходов, например, в A/B тестировании.
  • Бета-распределение часто используется как априорное распределение в байесовском выводе.

Пример – вычисление и визуализация биномиального распределения:

        import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import binom

n = 10
p = 0.9

k_values = list(range(n + 1))
probabilities = [binom.pmf(k, n, p) for k in k_values]

plt.bar(k_values, probabilities, color='blue')
plt.xlabel('k исходов (10 испытаний)')
plt.ylabel('Вероятность')
plt.title('Биномиальное распределение (n=10, p=0.9)')
plt.ylim(0, 0.4) 
plt.grid(True, which='both', axis='y', color='gray', linestyle='--', linewidth=0.5)
plt.show()
    
Это биномиальное распределение предполагает вероятность успеха p=0.9 (90%)
Это биномиальное распределение предполагает вероятность успеха p=0.9 (90%)

3. Описательная и выводная статистика

Это важнейшие инструменты для понимания и интерпретации данных:

  • Описательная статистика (среднее, медиана, мода, дисперсия, стандартное отклонение) используется для суммирования характеристик данных.
  • Нормальное распределение – многие статистические методы основаны на предположении о нормальности данных.
  • Обратная функция распределения используется в генерации случайных чисел и в квантильной регрессии.
  • Z-оценки применяются для стандартизации данных и выявления выбросов.
  • Центральная предельная теорема обосновывает применение многих статистических методов к реальным данным.
  • Доверительные интервалы используются для оценки неопределенности в статистических выводах.
  • P-значения – ключевой инструмент в проверке статистических гипотез.
  • T-распределение применяется при работе с малыми выборками.

4. Линейная алгебра

Линейная алгебра предоставляет эффективные инструменты для работы с многомерными данными:

  • Векторы и матрицы используются для эффективного представления и манипулирования данными.
  • Линейные преобразования применяются в обработке изображений и в некоторых методах машинного обучения.
  • Умножение матриц – ключевая операция во многих алгоритмах, включая нейронные сети.
  • Определители используются в решении систем линейных уравнений и в некоторых методах классификации.
  • Обратные матрицы применяются в решении систем линейных уравнений, которые используются во многих алгоритмах машинного обучения.
  • Собственные векторы и собственные значения используются в методах снижения размерности (например, в методе главных компонент), и в некоторых алгоритмах кластеризации.

Предположим, у нас есть вектор v:

v=[32]

И вектор w:

w=[21]

Так выглядит математическая операция сложения:

v+w=[3+22+1]=[51]

А так операция сложения производится в Python (с помощью NumPy):

        from numpy import array
v = array([3, 2])
w = array([2, -1])

v_plus_w = v + w

print(v_plus_w) #Вывод: [5 1]
    
Как и в случае с числами, от перестановки слагаемых сумма векторов не меняется
Как и в случае с числами, от перестановки слагаемых сумма векторов не меняется

5. Линейная регрессия

Линейная регрессия – это фундаментальный метод прогнозирования в статистике и машинном обучении. Основные математические концепции, связанные с линейной регрессией:

  • Метод наименьших квадратов – основной способ оценки параметров в линейной регрессии.
  • Градиентный спуск – итеративный метод оптимизации, широко используемый в машинном обучении.
  • Стохастический градиентный спуск – эффективный метод оптимизации для больших наборов данных.
  • Коэффициент корреляции используется для оценки силы линейной связи между переменными.
  • Коэффициент детерминации (R-квадрат) – мера качества подгонки модели.
  • Доверительные интервалы предсказания используются для оценки неопределенности прогнозов.
Линейная регрессия предсказывает, что к 8,5 годам пес посетит ветеринара 21 раз
Линейная регрессия предсказывает, что к 8,5 годам пес посетит ветеринара 21 раз

6. Логистическая регрессия и классификация

Логистическая регрессия – это метод, который помогает предсказать, произойдет какое-то событие или нет. Например, купит ли клиент товар, заболеет ли пациент, будет ли дождь и т.д.

Логистическая регрессия работает так:

  • Берет разные характеристики (признаки) и комбинирует их.
  • Затем преобразует результат в число от 0 до 1.
  • Это число можно интерпретировать как вероятность события.

Предположим, мы хотим предсказать, купит ли человек машину. Мы учитываем его возраст, доход и наличие семьи. Логистическая регрессия возьмет эти данные и выдаст вероятность покупки. Кроме того, логистическая регрессия часто используется для бинарной классификации: она дает вероятность принадлежности к классу, которую можно преобразовать в конкретное решение (например, если вероятность > 0.5, то относим к классу 1, иначе к классу 0).

Эта функция показывает, как логистическая регрессия преобразует линейную комбинацию признаков (b0 + b1 * x) в вероятность, которая всегда находится в диапазоне от 0 до 1:

        from sympy import symbols, exp, plot

b0, b1, x = symbols('b0 b1 x')
p = 1.0 / (1.0 + exp(-(b0 + b1 * x)))
p = p.subs({b0: -2.823, b1: 0.620})
print(p)
plot(p)
    
Логистическая функция всегда дает значение между 0 и 1
Логистическая функция всегда дает значение между 0 и 1

7. Нейронные сети

Нейронные сети – мощный инструмент для анализа больших объемов данных, выявления скрытых закономерностей и принятия решений. Все основные концепции, которые нужно знать для создания и использования нейронок, имеют математическую основу:

  • Архитектуры нейронных сетей опираются на линейную алгебру и теорию графов.
  • Нормализация данных использует статистические методы.
  • Кросс-валидация основана на статистических принципах.
  • Функции активации определяют нелинейность модели. Чаще всего используют линейный выпрямитель ReLU, логистическую функцию и гиперболический тангенс.
  • Прямое распространение – процесс вычисления выхода сети на основе входных данных.
  • Обратное распространение ошибки – алгоритм для эффективного вычисления градиентов в многослойных сетях.
  • Стохастический градиентный спуск – основной метод оптимизации параметров нейронных сетей.
  • Функции потерь основаны на математической статистике и теории оптимизации.
  • Регуляризация (особенно L1 и L2) использует концепции из линейной алгебры и оптимизации.
  • Методы инициализации весов основаны на теории вероятностей и статистике.
  • Оптимизаторы основаны на математических методах оптимизации.
  • Метрики производительности основаны на статистике.

Подведем итоги

Итак, для успешной работы в Data Science нужно знать:

  • Базовые математические концепции и математический анализ.
  • Теорию вероятностей.
  • Описательную и выводную статистику.
  • Линейную алгебру.
  • Линейную и логистическую регрессию.
  • Основы нейронных сетей.

Увереное владение этими математическими концепциями позволяет специалистам по Data Science:

  • Глубже понимать алгоритмы и методы анализа данных.
  • Эффективно обрабатывать и интерпретировать большие объемы информации.
  • Разрабатывать и оптимизировать модели машинного обучения.
  • Оценивать эффективность и ограничения используемых методов.
  • Создавать инновационные решения в области анализа данных.

Важно отметить, что всю необходимую математическую базу можно освоить самостоятельно, если не торопиться и подходить к изучению системно. Для тех, кто стремится ускорить процесс обучения, есть специализированные курсы, которые помогут быстрее овладеть нужными навыками.

Другой важный момент заключается в том, что Data Science постоянно развивается, и в некоторых нишах могут потребоваться особые, более углубленные математические навыки. Например, в сфере компьютерного зрения нужно углубленное знание геометрии, а в области обработки естественного языка – продвинутые статистические методы. Поэтому дата-сайентистам необходимо непрерывно развиваться, следить за новыми тенденциями и быть готовыми осваивать дополнительные математические концепции по мере необходимости.

***

Онлайн-курс по математике для Data Science от Proglib Academy

Если вы хотите углубить свои знания в Data Science и стать востребованным специалистом, вам необходима прочная математическая база. Наш онлайн-курс по математике для Data Science поможет вам освоить все ключевые концепции и методы.

Что вы получите на курсе

  1. Теория вероятностей: Основы и применение для анализа данных и машинного обучения.
  2. Линейная алгебра: Векторы, матрицы, собственные значения и их использование в Data Science.
  3. Математический анализ: Пределы, производные, интегралы и их применение в оптимизации моделей.
  4. Комбинаторика: Правила, множества и сочетания.
  5. Основы машинного обучения: Word2vrc, случайный лес, KNN, байесовский классификатор.

МЕРОПРИЯТИЯ

Комментарии

ЛУЧШИЕ СТАТЬИ ПО ТЕМЕ