🔢 Математика для Data Science: необходимый минимум

Данные стали новой нефтью, а науку о данных Harvard Business Review назвал самой перспективной профессией 21 века. Для работы в сфере Data Science необходима математика: она позволяет извлекать смысл из огромных массивов информации и принимать обоснованные решения. Расскажем, какие разделы математики нужно знать для успешного старта.

Почему в Data Science не обойтись без математики

Все ключевые аспекты Data Science неразрывно связаны с математикой, поскольку она предоставляет фундаментальную основу и все необходимые инструменты для понимания, анализа и интерпретации информации:

• Анализ данных – для понимания и интерпретации информации используются математическая статистика, линейная алгебра и теория вероятностей.
• Понимание взаимосвязей – для выявления, количественной оценки и моделирования различных типов взаимосвязей в данных (от простых линейных зависимостей до сложных нелинейных и многомерных отношений) применяются математическая статистика, линейная алгебра, теория вероятностей, теория графов, функциональный анализ, персистентная гомология.
  
• Разработка алгоритмов – алгоритмы машинного обучения основаны на определенных математических концепциях. Понимание этих концепций позволяет специалистам по Data Science выбирать, адаптировать и оптимизировать алгоритмы для конкретных задач.
  
• Оценка моделей – математические методы используются для оценки производительности моделей машинного обучения и определения их эффективности.
  
• Обработка больших объемов данных – математические методы помогают эффективно обрабатывать и анализировать большие массивы данных.
  
• Визуализация данных – математические концепции лежат в основе многих методов визуализации данных, помогая эффективно представлять сложную информацию.
  
• Прогнозирование – математические модели используются для создания точных прогнозов на основе исторических данных.
  
• Решение оптимизационных задач – многие задачи в Data Science связаны с оптимизацией, которая напрямую опирается на математические методы.
  
• Понимание ограничений – знание математики помогает специалистам по Data Science лучше понимать ограничения и допущения используемых методов и моделей.
  
• Инновации – глубокое понимание математики позволяет создавать новые алгоритмы и методы анализа данных, способствуя развитию области.
  

Какие разделы математики нужно знать для работы в Data Science

Важно заметить, что глубина необходимых знаний в той или иной области математики варьируется в зависимости от конкретной специализации в Data Science. Но в целом, абсолютно необходимый минимум сводится к перечисленным ниже ключевым разделам.

1. Базовые математические концепции и математический анализ

Теория чисел

• Применяется в алгоритмах хеширования, которые важны для эффективного хранения и поиска данных.
  
• Помогает в понимании и оптимизации вычислительных алгоритмов.
  

Порядок операций

• Критически важен для правильного написания и интерпретации математических выражений в коде.
• Обеспечивает корректность вычислений в сложных формулах и алгоритмах.
  

my_value = 2 * (3 + 2)**2 / 5 - 4
print(my_value) # Вывод: 6.0

Переменные

• Основа программирования и моделирования в Data Science.
• Используются для представления признаков, параметров моделей и промежуточных результатов вычислений.
  

Функции

• Используются во всех аспектах науки о данных – от сбора, обработки, анализа и визуализации информации до оценки и оптимизации моделей.

Пример – визуализация функции в трехмерном пространстве:

from sympy import symbols
from sympy.plotting import plot3d

x, y = symbols('x y')
f = 2*x + 3*y
plot3d(f)

Суммирование

• Используется в вычислении агрегированных метрик (например, суммы квадратов ошибок).
• Применяется в алгоритмах машинного обучения.
  

summation = sum(2 * i for i in range(1, 6))
print(summation) # Вывод: 30

Экспоненты

• Применяются в масштабировании данных, особенно для признаков с большим разбросом значений.
• Используются в некоторых активационных функциях нейронных сетей (например, ELU).
  
• Важны в моделировании экспоненциального роста или спада.
  

Логарифмы

• Часто применяются для нормализации данных с большим разбросом значений.
• Используются в информационной теории (например, энтропия в деревьях решений).
  
• Помогают в визуализации данных с большим диапазоном значений.

Пример – использование логарифма для определения степени:

from math import log
# 2 в какой степени равно 8?
x = log(8, 2)
print(x) # Вывод: 3.0

Число Эйлера и натуральные логарифмы

• Широко используются в статистическом моделировании.
• Применяются в логистической регрессии и других вероятностных моделях.
  
• Важны в оптимизации и максимизации функций правдоподобия.
  

Пример – вычисление непрерывного процента:

from math import exp

p = 100  # Начальная сумма 
r = .20  # Годовая процентная ставка 
t = 2.0  # Время в годах

a = p * exp(r*t)

print(a)  # Вывод: 149.18246976412703

Пределы

• Помогают понять поведение функций и алгоритмов при стремлении параметров к определенным значениям.
• Используются в анализе сходимости алгоритмов машинного обучения.
  

Пример – вычисление предела, который определяет число e:

from sympy import symbols, limit, oo

n = symbols('n')
f = (1 + (1/n))**n
result = limit(f, n, oo)
print(result)  # E
print(result.evalf())  # Вывод: 2.71828182845905

Производные

• Ключевой компонент в оптимизации моделей машинного обучения, особенно в градиентном спуске.
• Применяются для нахождения локальных минимумов и максимумов функций потерь.
  
• Используются в анализе чувствительности моделей к изменениям входных параметров.
  

Частные производные

• Применяются в многомерной оптимизации, например, в нейронных сетях.
• Используются для вычисления градиентов в алгоритмах обучения.

Пример – вычисление и визуализация частных производных:

from sympy import symbols, diff
from sympy.plotting import plot3d

x, y = symbols('x y')
f = 2*x**3 + 3*y**3

# Вычисляем частные производные по x и y
dx_f = diff(f, x)
dy_f = diff(f, y)

print(dx_f)  # Вывод: 6*x**2
print(dy_f)  # Вывод: 9*y**2

plot3d(f)

Цепное правило

• Важно для понимания и реализации алгоритма обратного распространения ошибки в нейронных сетях.
• Применяется при вычислении градиентов сложных композитных функций.
  

Интегралы

• Используются в вероятностном моделировании и статистическом выводе.
• Применяются в вычислении площадей под кривыми распределения вероятностей.
  
• Важны в некоторых методах оценки плотности вероятности.
  

def approximate_integral(a, b, n, f):
    delta_x = (b - a) / n
    total_sum = 0
    for i in range(1, n + 1):
        midpoint = 0.5 * (2 * a + delta_x * (2 * i - 1))
        total_sum += f(midpoint)
    return total_sum * delta_x
def my_function(x):
    return x**2 + 1
area = approximate_integral(a=0, b=1, n=5, f=my_function)
print(area) # Вывод: 1.33

2. Теория вероятностей

Вероятность – основа статистического вывода и многих алгоритмов машинного обучения. Понимание вероятности критично для интерпретации результатов моделей и оценки неопределенности:

• Совместные вероятности используются в анализе многомерных данных и в построении байесовских сетей.
• Условная вероятность – основа для байесовских методов машинного обучения, включая наивный байесовский классификатор.
  
• Биномиальное распределение применяется в моделировании бинарных исходов, например, в A/B тестировании.
  
• Бета-распределение часто используется как априорное распределение в байесовском выводе.

Пример – вычисление и визуализация биномиального распределения:

import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import binom

n = 10
p = 0.9

k_values = list(range(n + 1))
probabilities = [binom.pmf(k, n, p) for k in k_values]

plt.bar(k_values, probabilities, color='blue')
plt.xlabel('k исходов (10 испытаний)')
plt.ylabel('Вероятность')
plt.title('Биномиальное распределение (n=10, p=0.9)')
plt.ylim(0, 0.4) 
plt.grid(True, which='both', axis='y', color='gray', linestyle='--', linewidth=0.5)
plt.show()

3. Описательная и выводная статистика

Это важнейшие инструменты для понимания и интерпретации данных:

• Описательная статистика (среднее, медиана, мода, дисперсия, стандартное отклонение) используется для суммирования характеристик данных.
• Нормальное распределение – многие статистические методы основаны на предположении о нормальности данных.
  
• Обратная функция распределения используется в генерации случайных чисел и в квантильной регрессии.
  
• Z-оценки применяются для стандартизации данных и выявления выбросов.
  
• Центральная предельная теорема обосновывает применение многих статистических методов к реальным данным.
  
• Доверительные интервалы используются для оценки неопределенности в статистических выводах.
  
• P-значения – ключевой инструмент в проверке статистических гипотез.
  
• T-распределение применяется при работе с малыми выборками.
  

4. Линейная алгебра

Линейная алгебра предоставляет эффективные инструменты для работы с многомерными данными:

• Векторы и матрицы используются для эффективного представления и манипулирования данными.
• Линейные преобразования применяются в обработке изображений и в некоторых методах машинного обучения.
  
• Умножение матриц – ключевая операция во многих алгоритмах, включая нейронные сети.
  
• Определители используются в решении систем линейных уравнений и в некоторых методах классификации.
  
• Обратные матрицы применяются в решении систем линейных уравнений, которые используются во многих алгоритмах машинного обучения.
  
• Собственные векторы и собственные значения используются в методах снижения размерности (например, в методе главных компонент), и в некоторых алгоритмах кластеризации.
  

Предположим, у нас есть вектор v:

И вектор w:

Так выглядит математическая операция сложения:

А так операция сложения производится в Python (с помощью NumPy):

from numpy import array
v = array([3, 2])
w = array([2, -1])

v_plus_w = v + w

print(v_plus_w) #Вывод: [5 1]

5. Линейная регрессия

Линейная регрессия – это фундаментальный метод прогнозирования в статистике и машинном обучении. Основные математические концепции, связанные с линейной регрессией:

• Метод наименьших квадратов – основной способ оценки параметров в линейной регрессии.
• Градиентный спуск – итеративный метод оптимизации, широко используемый в машинном обучении.
  
• Стохастический градиентный спуск – эффективный метод оптимизации для больших наборов данных.
  
• Коэффициент корреляции используется для оценки силы линейной связи между переменными.
  
• Коэффициент детерминации (R-квадрат) – мера качества подгонки модели.
• Доверительные интервалы предсказания используются для оценки неопределенности прогнозов.

6. Логистическая регрессия и классификация

Логистическая регрессия – это метод, который помогает предсказать, произойдет какое-то событие или нет. Например, купит ли клиент товар, заболеет ли пациент, будет ли дождь и т.д.

Логистическая регрессия работает так:

• Берет разные характеристики (признаки) и комбинирует их.
• Затем преобразует результат в число от 0 до 1.
  
• Это число можно интерпретировать как вероятность события.
  

Предположим, мы хотим предсказать, купит ли человек машину. Мы учитываем его возраст, доход и наличие семьи. Логистическая регрессия возьмет эти данные и выдаст вероятность покупки. Кроме того, логистическая регрессия часто используется для бинарной классификации: она дает вероятность принадлежности к классу, которую можно преобразовать в конкретное решение (например, если вероятность > 0.5, то относим к классу 1, иначе к классу 0).

Эта функция показывает, как логистическая регрессия преобразует линейную комбинацию признаков (b0 + b1 * x) в вероятность, которая всегда находится в диапазоне от 0 до 1:

from sympy import symbols, exp, plot

b0, b1, x = symbols('b0 b1 x')
p = 1.0 / (1.0 + exp(-(b0 + b1 * x)))
p = p.subs({b0: -2.823, b1: 0.620})
print(p)
plot(p)

7. Нейронные сети

Нейронные сети – мощный инструмент для анализа больших объемов данных, выявления скрытых закономерностей и принятия решений. Все основные концепции, которые нужно знать для создания и использования нейронок, имеют математическую основу:

• Архитектуры нейронных сетей опираются на линейную алгебру и теорию графов.
• Нормализация данных использует статистические методы.
  
• Кросс-валидация основана на статистических принципах.
  
• Функции активации определяют нелинейность модели. Чаще всего используют линейный выпрямитель ReLU, логистическую функцию и гиперболический тангенс.
  

• Прямое распространение – процесс вычисления выхода сети на основе входных данных.
  
• Обратное распространение ошибки – алгоритм для эффективного вычисления градиентов в многослойных сетях.
  
• Стохастический градиентный спуск – основной метод оптимизации параметров нейронных сетей.
  
• Функции потерь основаны на математической статистике и теории оптимизации.
  
• Регуляризация (особенно L1 и L2) использует концепции из линейной алгебры и оптимизации.
  
• Методы инициализации весов основаны на теории вероятностей и статистике.
  
• Оптимизаторы основаны на математических методах оптимизации.
  
• Метрики производительности основаны на статистике.
  

Подведем итоги

Итак, для успешной работы в Data Science нужно знать:

• Базовые математические концепции и математический анализ.
• Теорию вероятностей.
• Описательную и выводную статистику.
• Линейную алгебру.
• Линейную и логистическую регрессию.
• Основы нейронных сетей.

Увереное владение этими математическими концепциями позволяет специалистам по Data Science:

• Глубже понимать алгоритмы и методы анализа данных.
• Эффективно обрабатывать и интерпретировать большие объемы информации.
• Разрабатывать и оптимизировать модели машинного обучения.
• Оценивать эффективность и ограничения используемых методов.
• Создавать инновационные решения в области анализа данных.

Важно отметить, что всю необходимую математическую базу можно освоить самостоятельно, если не торопиться и подходить к изучению системно. Для тех, кто стремится ускорить процесс обучения, есть специализированные курсы, которые помогут быстрее овладеть нужными навыками.

Другой важный момент заключается в том, что Data Science постоянно развивается, и в некоторых нишах могут потребоваться особые, более углубленные математические навыки. Например, в сфере компьютерного зрения нужно углубленное знание геометрии, а в области обработки естественного языка – продвинутые статистические методы. Поэтому дата-сайентистам необходимо непрерывно развиваться, следить за новыми тенденциями и быть готовыми осваивать дополнительные математические концепции по мере необходимости.

Онлайн-курс по математике для Data Science от Proglib Academy

Если вы хотите углубить свои знания в Data Science и стать востребованным специалистом, вам необходима прочная математическая база. Наш онлайн-курс по математике для Data Science поможет вам освоить все ключевые концепции и методы.

Что вы получите на курсе

1. Теория вероятностей: Основы и применение для анализа данных и машинного обучения.
2. Линейная алгебра: Векторы, матрицы, собственные значения и их использование в Data Science.
3. Математический анализ: Пределы, производные, интегралы и их применение в оптимизации моделей.
4. Комбинаторика: Правила, множества и сочетания.
5. Основы машинного обучения: Word2vrc, случайный лес, KNN, байесовский классификатор.