Предыстория этой задачи изложена в первой части, в которой мы рассмотрели несколько вариантов решения для k = 1, 2 и 3, и выяснили, что для общего случая и для k ≥ 4 нужно использовать более универсальный подход, связанный с симметрическими функциями.
Таких подходов известно два, оба изложены в публикации Уильяма Гасарша (pdf), посвященной всем возможным способам вычисления k пропущенных чисел в массивах и потоках данных. В первом случае симметрические многочлены выводятся из степенных сумм с помощью тождеств Ньютона, а во втором случае симметрические функции используются на всех этапах решения. Любой из этих вариантов может претендовать на звание того самого «Святого Грааля», который хотел найти автор темы на Stack Overflow, но здесь мы будем рассматривать второй подход, как самый оригинальный.
«Святой Грааль»: aлгоритм сверки множеств
Гасарш приводит детальное математическое решение для общего случая, основанное на алгоритме Мински-Трахтенберга-Зиппеля. Условие задачи, принцип решения и последовательность действий выглядят так:
- Поток данных (или массив) представляет собой множество {1, 2...n}, в котором все числа уникальны, и могут быть расположены в любом порядке. При передаче множества k чисел были пропущены. Обозначим их y1, y2, ..., yk. Необходимо найти эти числа, используя не более O(k log n) битов памяти.
- Чтобы соблюсти ограничение по использованию памяти (и реализовать поточную обработку), мы вычисляем симметрические функции для каждого числа x1, x2, ..., xn-k по мере поступления чисел. По определению, s0 всегда равна 0, s1 представляет собой сумму чисел, s2 – сумму произведений всех возможных пар чисел, s3 – сумму произведений всех комбинаций троек чисел и так далее. В итоге мы получим набор симметрических функций, которые в нотации Гасарша обозначаются s1n-k, s2n-k, s3n-k и так далее (L – длина фактически полученной последовательности чисел, то есть n – k).
- Зная L и k, мы получаем n – длину полной числовой последовательности. Это дает нам возможность вычислить симметрические суммы для полной последовательности, с учетом всех чисел, которые пропущены в фактическом потоке данных. Эти вычисления делаются независимо от входного потока:
- В результате мы получаем систему уравнений, из которых можем вывести сумму, произведение и суммы произведений всех возможных комбинаций пропущенных чисел, поскольку у нас уже есть sin , sin-k , s0k , s0n−k :
- Итогом всех этих манипуляций станет полином k-степени. Вычислив его корни, мы найдем все пропущенные числа:
Как быстро освоить математику?
Заглядывай на наш онлайн-курс по математике для Data Science, где ты познакомишься с основными моделями машинного обучения, научишься выбирать и применять подходящие tree-based модели.
Программа занятий:
- Школьная математика: от теории множеств до производной и интеграла.
- Математический анализ: от числовых последовательностей до теории меры и интеграла Ламбера.
- Линейная алгебра: от матриц до билинейных форм.
- Комбинаторика: правила комбинаторики, множества и сочетания.
- Теория вероятностей и математическая статистика: от случайных событий до регрессии.
- Машинное обучение: Word2vec, градиентный спуск, KNN и т. д.
Реализация алгоритма на Python
Функция actual_sums() вычисляет фактические симметрические функции по мере поступления чисел:
def actual_sums(lst, k):
sums = [0] * (k + 1)
sums[0] = 1 # s0 по определению равна 1
for num in lst:
for j in range(k, 0, -1):
sums[j] += num * sums[j - 1]
return sums
Функция complete_sums() работает независимо от входного потока данных, поскольку вычисляет ожидаемые, полные симметрические функции:
def complete_sums(n, k):
sums = [0] * (k + 1)
sums[0] = 1 # s0 по определению равна 1
for i in range(1, n + 1):
for j in range(k, 0, -1):
sums[j] += i * sums[j - 1]
return sums
Коэффициенты полинома, как и ожидаемые/фактические суммы, вычисляются рекуррентно:
def compute_coeff(actual, complete, k):
coeffs = [0] * (k + 1)
coeffs[0] = 1
coeffs[1] = complete[1] - actual[1]
for i in range(2, k + 1):
coeff = complete[i] - actual[i]
for j in range(1, i):
coeff -= actual[j] * coeffs[i - j]
coeffs[i] = coeff
return coeffs
К примеру, для числовой последовательности, в которой пропущено 12 чисел, коэффициенты полинома будут выглядеть так:
#lst = [22, 15, 4, 24, 14, 2, 17, 8, 28, 20, 5, 10, 12, 1, 19, 26]
#k = 12
[1, 179, 14336, 678200, 21069782, 451977986, 6849635572, 73706941164, 557311879377, 2877528115395, 9587151599652, 18393142628196, 15226233422400]
Решать такие уравнения проще всего с NumPy:
import numpy as np
def complete_sums(n, k):
sums = [0] * (k + 1)
sums[0] = 1 # s0 по определению равна 1
for i in range(1, n + 1):
for j in range(k, 0, -1):
sums[j] += i * sums[j - 1]
return sums
def actual_sums(lst, k):
sums = [0] * (k + 1)
sums[0] = 1 # s0 по определению равна 1
for num in lst:
for j in range(k, 0, -1):
sums[j] += num * sums[j - 1]
return sums
def compute_coeff(actual, complete, k):
coeffs = [0] * (k + 1)
coeffs[0] = 1
coeffs[1] = complete[1] - actual[1]
for i in range(2, k + 1):
coeff = complete[i] - actual[i]
for j in range(1, i):
coeff -= actual[j] * coeffs[i - j]
coeffs[i] = coeff
return coeffs
lst = [22, 15, 4, 24, 14, 2, 17, 8, 28, 20, 5, 10, 12, 1, 19, 26]
k = 12
n = len(lst) + k
actual = actual_sums(lst, k)
complete = complete_sums(n, k)
coefficients = compute_coeff(actual, complete, k)
roots = np.roots(coefficients)
print("Пропущенные числа:")
for root in roots:
print(f"{root* -1:.0f}")
Результат:
Пропущенные числа:
27
25
23
21
18
16
13
11
9
7
6
3
Подведем итоги
Алгоритм сверки множеств позволяет обойтись без тождеств Ньютона и чисел Бернулли, поскольку он основан на прямом вычислении симметрических функций. Оптимальная производительность достигается за счет рекуррентного подхода: в противном случае, вычисление всех возможных комбинаций пар, двоек, троек, k-наборов для всей последовательности сразу привело бы к временной сложности O(nk).
Комментарии